Áp Dụng Bất Đẳng Thức Côsi Và Ứng Dụng, Bất Đẳng Thức Cô Si

Bất đẳng thức Cô si là một trong dạng toán cải thiện có trong các đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán. Để giúp những em nắm vững kiến thức phần này, Vn
Doc giữ hộ tới các bạn tài liệu Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu bao gồm một số kỹ năng cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy, kèm theo đó là các bài tập cơ bạn dạng và cải thiện về bất đẳng thức Cô si, cho những em ôn tập, chuẩn bị kĩ lưỡng cho kì thi đặc trưng sắp tới.

Bạn đang xem: Áp dụng bất đẳng thức côsi


Bản quyền ở trong về Vn
Doc.
Nghiêm cấm mọi bề ngoài sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Một trong những kiến thức đề nghị nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)


1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô mê mệt của n số thực ko âm được tuyên bố như sau: Trung bình cộng của n số thực ko âm luôn to hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô yêu thích với 2 số thực ko âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b

- Bất đẳng thức Cô đắm say với n số thực ko âm:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

*

2. Chứng tỏ bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a cùng b ko âm

+ với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. Cùng với a, b > 0, ta triệu chứng minh:

*

*


Suy ra bất đẳng thức luôn luôn đúng với đa số a, b ko âm

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ trái 1: giả dụ tổng nhị số dương không thay đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

+ Hệ trái 2: nếu tích hai số dương không thay đổi thì tổng của của nhì số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

II. Bài xích tập về bất đẳng thức Cô đắm say lớp 9

Bài 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức

*
với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0 với ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: cho x > 0, y > 0 thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang lại hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0, y > 0 ta có:


*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

*

Vậy min
A = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: chứng minh với cha số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: bài toán dành được dấu bằng khi và đưa ra khi a = b = c = 1. Ta đã sử dụng phương pháp làm trội làm bớt như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô tê mê cho bố số a, b, c ko âm có:

*

Tương từ bỏ ta bao gồm

*
cùng
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi a = b = c = 1

III. Bài tập về bất đẳng thức Cô si

Bài 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của các biểu thức sau:

a,

*
với x > 0

(gợi ý: chuyển đổi

*
rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b,

*
với x > 0

c,

*
với x > 2

(gợi ý: đổi khác rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)


Bài 2: Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức

*
với x > y > 0

(gợi ý: thay đổi

*
)

Bài 3: với a, b, c là những số thực ko âm, triệu chứng minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô mê man cho bố số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho bố số thực dương a, b, c vừa lòng a + b + c = 3. Chứng tỏ rằng:

*

(gợi ý sử dụng cách thức làm trội)

-------------------

Trên phía trên Vn
Doc.com vừa gởi tới các bạn đọc bài viết Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, sẵn sàng cho các bài thi học kì với ôn thi vào lớp 10 tác dụng nhất.

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh tham khảo các đề thi học tập kì 2 lớp 9 và các tài liệu Thi vào lớp 10 bên trên Vn
Doc nhé. Với tư liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm cho bài tốt hơn. Chúc chúng ta ôn thi tốt!


Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về huấn luyện và giảng dạy và học tập tập các môn học lớp 9, Vn
Doc mời các thầy cô giáo, những bậc bố mẹ và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng giành cho lớp 9 sau: team Luyện thi lớp 9 lên 10 . Rất mong mỏi nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và những bạn.


Tham khảo thêm


Đánh giá bài bác viết
28 45.327
Chia sẻ bài viết
cài đặt về bạn dạng in
Nâng cung cấp gói Pro để yêu cầu website Vn
Doc.com KHÔNG quảng cáo
, và tải toàn bộ file cực nhanh không chờ đợi.
mua ngay bây giờ tự 79.000đ
khám phá thêm
Sắp xếp theo mặc định
Mới nhất
Cũ nhất

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán


Giới thiệu
Chính sách
Theo dõi bọn chúng tôi
Tải ứng dụng
Chứng nhận
*
Đối tác của Google

Bất đẳng thức Cosi là giữa những kiến thức toán học tập phổ biến, được sử dụng để giải các dạng toán về phương trình và bất phương trình không giống nhau cũng giống như tìm giá bán trị lớn nhất và giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team ema.edu.vn Education sẽ giúp đỡ các em làm rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, đến 3 số, dạng bao quát và hệ trái với một vài bài tập áp dụng có đáp án.


*

Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức truyền thống trong toán học, khởi nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được minh chứng bởi nhà toán học tín đồ pháp Augustin – Louis Cauchy. Ko kể tên Cosi, các người nói một cách khác là bất đẳng thức Cauchy tốt bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean cùng Geometric Mean).

Xem thêm: Tiệm Mì Gia Truyền 3 Đời Chuẩn Vị Người Hoa Ở Sài Gòn, Top 10 Tiệm Mì Hoành Thánh Ngon Ở Tphcm


Các dạng màn biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi hoàn toàn có thể được màn trình diễn bằng dạng bao quát hoặc dưới các dạng quan trọng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực ko âm x1, x2,…, xn ta có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau: 

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn quan trọng khác của bất đẳng thức Côsi:


*

Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát và những dạng quánh biệt, ta có 2 hệ quả quan trọng đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy mà những em đề nghị ghi nhớ dưới đây. Những hệ trái này thường được áp dụng nhiều trong việc đào bới tìm kiếm giá trị lớn nhất và giá bán trị bé dại nhất của biểu thức.

Hệ trái 1: nếu như tổng của 2 số dương không đổi thì tích của bọn chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.Hệ quả 2: trường hợp tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bởi nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm

Với 2 số thực không âm a cùng b, ta thấy lúc a với b đều bởi 0 thì biểu thức này luôn luôn đúng. Lúc này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số a, b dương.


eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số thực ko âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực ko âm

Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúng
Với a, b, c dương, ta minh chứng BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned

eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned
Khi đó, dấu bằng xẩy ra khi x = y = z xuất xắc a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đúng.

Do đó, để minh chứng bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần minh chứng nó cũng như với 2n số. Cách minh chứng như sau:


x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc thù quy hấp thụ thì bất đẳng thức này đúng cùng với n là một lũy thừa của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng cùng với n số, ta chứng tỏ được nó luôn đúng với n-1 số như sau:


eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext cùng với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi với 2n số cùng (n – 1) số luôn luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng BĐT Cosi cùng với n số thực không âm luôn luôn đúng.

*

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh: 


eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều nên chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c.

Dạng 2: đổi khác nhân chia, thêm, giảm một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:


eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều đề xuất chứng minh)endaligned

Qua nội dung bài viết trên đây, Team ema.edu.vn Education đã chia sẻ đến những em toàn thể nội dung tương quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách minh chứng cùng với phần lớn dạng bài tập thường chạm mặt có đáp án bỏ ra tiết. Hy vọng với những kỹ năng và kiến thức này, các em hoàn toàn có thể giải xuất sắc các bài tập tương quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài khám nghiệm toán sắp tới tới. 

Hãy liên hệ ngay với ema.edu.vn nhằm được hỗ trợ tư vấn nếu các em mong muốn học online trực tuyến nâng cấp kiến thức nhé! ema.edu.vn Education chúc những em lấy điểm cao trong số bài bình chọn và kỳ thi sắp đến tới!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

x

Welcome Back!

Login to your account below

Retrieve your password

Please enter your username or email address to reset your password.