Áp Dụng Bất Đẳng Thức Côsi Và Ứng Dụng, Bất Đẳng Thức Cô Si

Bất đẳng thức Cô si là một dạng toán nâng cao có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Để giúp các em nắm vững kiến thức phần này, Vn
Doc gửi tới các bạn tài liệu Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu bao gồm một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy, kèm theo đó là các bài tập cơ bản và nâng cao về bất đẳng thức Cô si, cho các em ôn tập, chuẩn bị kĩ lưỡng cho kì thi quan trọng sắp tới.

Bạn đang xem: Áp dụng bất đẳng thức côsi

Bản quyền thuộc về Vn
Doc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

- Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. Với a, b > 0, ta chứng minh:

Suy ra bất đẳng thức luôn đúng với mọi a, b không âm

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ quả 1: nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

+ Hệ quả 2: nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

II. Bài tập về bất đẳng thức Cô si lớp 9

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(do x > 0)

Vậy min

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy min
A = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

Tương tự ta có

và

Cộng vế với vế ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

III. Bài tập về bất đẳng thức Cô si

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a,

với x > 0

(gợi ý: biến đổi

rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b,

với x > 0

c,

với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi

)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)

-------------------

Trên đây Vn
Doc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất.

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 và các tài liệu Thi vào lớp 10 trên Vn
Doc nhé. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, Vn
Doc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10 . Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tham khảo thêm

Đánh giá bài viết
28 45.327
Chia sẻ bài viết
Tải về Bản in
Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website Vn
Doc.com KHÔNG quảng cáo, và tải toàn bộ file cực nhanh không chờ đợi.
Mua ngay Từ 79.000đ
Tìm hiểu thêm
Sắp xếp theo Mặc định
Mới nhất
Cũ nhất

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán

Giới thiệu
Chính sách
Theo dõi chúng tôi
Tải ứng dụng
Chứng nhậnĐối tác của Google

Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được sử dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team ema.edu.vn Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một số bài tập vận dụng có đáp án.

Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài tên Cosi, nhiều người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).

Xem thêm: Tiệm Mì Gia Truyền 3 Đời Chuẩn Vị Người Hoa Ở Sài Gòn, Top 10 Tiệm Mì Hoành Thánh Ngon Ở Tphcm

Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi có thể được biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau: 

\begin{aligned}&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt{x_1.x_2...x_n}\\&\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt{x_1.x_2...x_n}\\&\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n\end{aligned}

\begin{aligned}&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\&\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2\end{aligned}
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:

Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát và các dạng đặc biệt, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ dưới đây. Các hệ quả này thường được áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Hệ quả 1: Nếu tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.Hệ quả 2: Nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm

Với 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.

\begin{aligned}&\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\&\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\&\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\&\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn đúng }\forall a,b\ge0)\end{aligned}
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm

Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúng
Với a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:

\begin{aligned}&\text{Đặt }x=\sqrt<3>a, \ y=\sqrt<3>b,\ z=\sqrt<3>c\\&\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0\end{aligned}

\begin{aligned}&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\\&\Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)\ge 0\\&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\\&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\&\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\&\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\\&\Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>\ge 0\text{ (luôn đúng }\forall x,y,z\ge0)\\\end{aligned}
Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z hay a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng.

Do đó, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:

x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt{x_1x_2...x_n}+n\sqrt{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt<2n>{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}
Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn đúng với n-1 số như sau:

\begin{aligned}&x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt{x_1x_2...x_n}\\&x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\&\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt{x_1x_2...x_{n-1}}\end{aligned}
BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng.

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh: 

\begin{aligned}&a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\&\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều phải chứng minh)}\end{aligned}
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: Biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:

\begin{aligned}&\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ (1)\\&\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ (2)\\&\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ (3)\\&(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge 2(a+b+c)\\&\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ (điều phải chứng minh)}\end{aligned}

Qua bài viết trên đây, Team ema.edu.vn Education đã chia sẻ đến các em toàn bộ nội dung liên quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với những dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hy vọng với những kiến thức này, các em có thể giải tốt các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán sắp tới. 

Hãy liên hệ ngay với ema.edu.vn để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! ema.edu.vn Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!